Compléments sur les dérivées#
Progression#
Méthodes
Méthode 1: Soient \(u\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle I à valeurs dans J, et \(v\) une fonction définie et dérivable sur J. Alors la fonction \(v°u\) est dérivable sur I. et pour tout \(x_0 \in I, (v° u)'(x_0)=u'(x_0)\times (v'° u)\)
Méthode 2 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur I, f est convexe si et seulement si \(f'\) est croissante sur I. Cela permet de :
- déterminer la convexité d'une fonction.
- étudier la position de la courbe par rapport à ses sécantes ou ses tangentes
- déterminer les points d'inflexion
Méthode 3 : Soit \(f\) dérivable sur I et \(f'\) dérivable sur I. \(f\) est convexe sur I si et seulement si \(f''\) est positive sur I. Cela permet de :
- déterminer la convexité d'une fonction.
- étudier la position de la courbe par rapport à ses sécantes ou ses tangentes
- déterminer les points d'inflexion
Démonstrations Chapitre 4#
Démonstration
\(f''(x)>0\) sur un intervalle I \(\Leftrightarrow \mathcal{C}_f\) est au-dessus de ses tangentes
Soit \(T_a\) la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) avec \(T_a:y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
On note \(\phi\) la fonction définie par \(\phi(x)=f(x)-y=f(x)-(f'(a)(x-a)+f(a))=f(x)-f'(a)(x-a)-f(a)\).
\(\phi\) est deux fois dérivable, \(\phi'(x)=f'(x)-f'(a)\) (les autres termes de \(\phi\) étant des constantes).
Donc \(\phi''(x)=f''(x)>0\) donc \(\phi'\) est croissante sur I.
-
Si \(x>a \Leftrightarrow \phi'(x)>\phi'(a)\) avec \(\phi'(a)=f'(a)-f'(a)=0\) donc \(\phi'(x)>0 \Leftrightarrow \phi\) est croissante sur I, donc \(\phi(x)>\phi(a)\) avec \(\phi(a)=0\).
Ainsi \(\phi(x)>0 \Leftrightarrow f(x)-y>0 \Leftrightarrow f(x)>y\) donc \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de ses tangentes. -
Si \(x<a \Leftrightarrow \phi'(x)< \phi'(a) \Leftrightarrow \phi'(x)<0\) donc \(\phi(x)\) est décroissante. Donc \(x<a \Leftrightarrow \phi(x)> \phi(a) \Leftrightarrow \phi(x)>0\).
Ainsi \(f(x)-y>0 \Leftrightarrow f(x)>y\) donc \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de ses tangentes.
Cours#
Rappels de première#
Rappels :
Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\).
Ex1 du cours
N°1 p210
Exercices#
Des nouvelles formules de dérivées :
Activité A p 212
N°21-23-24-25-26p222
N°43-45 p224