Orthogonalité dans l'espace#
Méthodes#
Méthode1 : Connaitre les formules du produit scalaire :
- \(\vec{u}.\vec{v}=\left\lVert \vec{u}\right\rVert \times \left\lVert \vec{v}\right\rVert\times \cos(\vec{u},\vec{v})\)
- \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= AB\times AH\) si \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\in [-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}]\)
\(=-AB\times AH\) sinon.
Avec H le projeté orthogonal de C sur (AB)
- Formules de polarisation :
\(\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}[\left\lVert \vec{u}\right\rVert^2 + \left\lVert \vec{v}\right\rVert^2-\left\lVert \vec{u}-\vec{v}\right\rVert^2]\)
\(\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}[-\left\lVert \vec{u}\right\rVert^2 - \left\lVert \vec{v}\right\rVert^2+\left\lVert \vec{u}+\vec{v}\right\rVert^2]\)
Méthode 2 : Un plan a pour équation cartésienne \(ax+by+cz+d=0\) avec le vecteur normal
\(\vec{n}=(a,b,c)\)
Méthode 3: Trouver les intersections de droites et plans, intersection de plans, intersection de sphère et plan.
Projection orthogonal d'un point sur un plan
Distance d'un point à un plan.
Cours#
Démonstrations#
Equation cartésienne du plan :
Un plan a pour équation cartésienne \(ax+by+cz+d=0\) avec le vecteur normal \(\vec{n}=(a,b,c)\)
\(\vec{n}\) est normal au plan P contenant le point A. Donc pour tout \(M(x,y,z)\) du plan P, le produit scalaire \(\overrightarrow{AM}.\vec{n}=0\)
\(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0 \Leftrightarrow ax+by+cz-(ax_A+by_A+cz_A)=0\).
En posant \(d=-(ax_A+by_A+cz_A)\) on a bien l'équation cartésienne de P: \(ax+by+cz+d=0\)
Distance et projeté :
Si H est le projeté orthogonal de A sur un plan P, alors la distance de A à P est AH.
Soit M un point du plan différent de H. Le triangle AHM est rectangle en H, donc l'hypoténuse AM>AH. Ainsi AH est la plus petite longueur de A au plan P.
Exercices#
Produit scalaire analytique :
Projection orthogonale - Distance à un plan :
N°38-39-40-42-43 p106
N°89 p108
N°100 p109
Equations de sphères - Intersection de plans :
Problèmes :
N°105p 110 N°117 p115
A venir