Chapitre 1 - Limites de fonctions#
Progression#
Méthodes
méthode 1 : \(a\) désigne un nombre réel ou \(+\infty\) ou \(-\infty\). \(f\) est une fonction définie au voisinage de \(a\).
- Dire que \(f\) a pour limite \(a\) quand \(x\) tend vers \(a\) (resp \(+\infty\)) signifie que, quelque soit le réel \(A,f(x)>A\) dès que \(x\) suffisamment proche de \(a\))(resp. \(x\) suffisamment grand). On écrit : \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)=+\infty\) (resp. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)).
- De façon analoque : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty\) ; \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty\)
- Dire que \(f\) a pour limite \(l\) quand \(x\) tend vers \(a\) (resp \(+\infty\)) signifie que quelques soit \(\epsilon>0; |f(x)-l|<\epsilon\) dès que \(x\) suffisamment proche de \(a\))(resp. \(x\) suffisamment grand). On écrit \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)=l\) (resp. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=l\)).
- Cela permet de :
Etudier le comportement de \(f\) même lorsque la fonction n'est pas définie (pour une valeur interdite).
Déterminer des asymptotes
méthode 2 : Des théorèmes permettent de donner la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de fonctions. Les formes indéterminées sont de la forme \(\infty -\infty\) ou \(0\times \infty\) ou \(\infty / \infty\) ou \(0/0\). Il faudra transformer la fonction pour casser l'indetermination.
méthode 3 : Si pour tout \(x\in I, f(x)\geq g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty\) alors \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)
Si pour tout \(x\in I, f(x)\leq g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)=-\infty\) alors \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty\)
Si pour tout \(x\in I, g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x)=l\) alors \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=l\) (théorème des gendarmes)
méthode 4 : \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x=+\infty\) et \( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x=0\).
Pour tout n entier \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\) et \( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n.e^x=0\) (théorème des croissances comparées)
Cours#
Démonstrations du chapitre 1#
Démonstration de la limite de \(e^x\) en \(+\infty\)
Pré-requis : théorème de comparaison
Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^x-x\)
\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(g'(x)=e^x-1\)
\(g'(x)>0 \Leftrightarrow x>0\).
\(g\) admet donc un minimum en 0 qui vaut \(g(0)=1\). Donc \(g(x)>0\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\)
Donc pour tout réel \(x\), \(e^x>x\)
Par comparaison:
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} {e^x}>\displaystyle\lim_{x \to +\infty} {x}\)
donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} {e^x}=+\infty\) CQFD
Démonstration de la limite de \(e^x\) en \(-\infty\)
Pré-requis : limite en \(+\infty\) et composition de limite
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} {e^x}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} {e^{-x}}\)
\(=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x}=0\) CQFD
Démonstration du théorème des croissances comparées
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n}=+\infty\)
Pré-requis : Opérations sur les limites, composition de limites, théorème des gendarmes
Cas \(n=1\)
Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=e^x-\frac{x^2}{2}\)
\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(g'(x)=e^x-x\)
On a montré dans la démonstration de la limite de \(e^x\) que \(g'(x)>0\) donc \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
donc \(\forall x>0\), on a \(g(x)>g(0) \Leftrightarrow g(x)>1>0\) donc \(e^x>\frac{x^2}{2} \Rightarrow \frac{e^x}{x}>\frac{x}{2}\)
Par comparaison, comme \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2}=+\infty\) alors \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty\)
Cas \(n> 1\)
\(\frac{e^x}{x^n}=(\frac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}})^n\times(\frac{1}{n})^n\)
Posons \(X=\frac{x}{n}\) alors \((\frac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}})^n\times(\frac{1}{n})^n=(\frac{e^X}{X})^n\times(\frac{1}{n})^n\).
On a \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}X=+\infty\) et on a vu que \(\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{X}=+\infty\) donc par produit \(\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{X}\times(\frac{1}{n})^n=+\infty\)
Et par composition on a \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n}=+\infty\)
CQFD
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} {x^n e^x}=0\)
Pré-requis : Théorème 1, opérations sur les limites, composition de limites, théorème des gendarmes
\(x^n e^x=\frac{x^n}{e^{-x}}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} {x^n e^x}=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{x^n}{e^{-x}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{(-x)^n}{e^{x}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(-1)^n\frac{x^n}{e^{x}}\)
On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty\) donc par inverse, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{x^n}{e^{x}}=0\). De plus, \(-1\leq (-1)^n\leq 1\) donc \(-\frac{x^n}{e^{x}}<(-1)^n\frac{x^n}{e^{x}}<\frac{x^n}{e^{x}}\) par produit \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}-\frac{x^n}{e^{x}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{x^n}{e^{x}}=0\)
Donc par le théorème des gendarmes \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} {x^n e^x}=0\) CQFD
Exercices#
Activités :
A page 162
B page 162
Recherche de limites :
N°17 p176 (5 minutes)
N°20 p176 (5 minutes)
N°21 p176 (5 minutes)
Formalisme des limites :
Opérations sur les limites :
N°24 p177 (7 minutes)
N°25 p177 (7 minutes)
N°26 p177 (7 minutes)
N°52 p180 (10 minutes)
Utiliser les formules du cours
Tracer la courbe représentative à la calculatrice pour conjecturer le résultat.
Formes Indéterminées :
N°27 p177 (10 minutes)
N°28 p177 (10 minutes)
Utiliser les méthodes vues page 9 du cours Tracer la courbe représentative à la calculatrice pour conjecturer le résultat.
Limite d'une composée de fonctions :
Déterminer les limites suivantes :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+3x+2}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x^3-5x^2+2}\)
Comparaisons - Théorème des gendarmes :
N°75 p183 (7 minutes)
N°77 p183 (12 minutes)
N°80 p183 (12 minutes)
Cours + les méthodes vues page 9 du cours (Ex 80) Tracer la courbe représentative à la calculatrice pour conjecturer le résultat.
A venir 75-77-80
Demonstration limites de l'exponentielle :
N°91 p184 (fait ensemble)
Théorèmes des croissances comparées :
N°84 p183 (10 minutes)
Demonstration des théorèmes (faits ensemble)
Cours Tracer la courbe représentative à la calculatrice pour conjecturer le résultat.
A venir 84
Correction de travail / Devoirs :