Suites Numériques#
Progression#
Méthodes
Méthode 1 : Une suite \((u_n)\) a pour limite \(l\) lorsque, pour tout \(\epsilon\) on peut trouver un rang \(n_0\) à partir duquel \(l-\epsilon < u_n < l+\epsilon\).
Cela permet de :
- montrer qu'une suite converge vers un réel \(l\).
- Etudier le comportement asymptotique d'une suite, notamment dans la modélisation de problème.
Méthode 2 : Une suite \((u_n)\) a pour limite \(+\infty\) lorsque, pour tout \(A\) on peut trouver un rang \(n_0\) à partir duquel \(u_n > A\).
Une suite \((u_n)\) a pour limite \(-\infty\) lorsque, pour tout \(B\) on peut trouver un rang \(n_0\) à partir duquel \(u_n < B\).
Cela permet de :
- montrer qu'une suite diverge.
- Etudier le comportement asymptotique d'une suite, notamment dans la modélisation de problème.
Méthode 3 : Les limites de suites usuelles et les tableaux d'opérations sur les limites sont à connaitre.
Méthode 4 : Théorèmes de comparaison, théorème des gendarmes.
Méthode 5: Théorème des convergences monotone : Toute suite croissante majorée converge. Toute suite décroissante minorée converge.
Méthode 6 : Démonstration par récurrence :
- Initialisation : Montrer qu'une propriété est vraie au rang 0 ou 1 (ou \(n_0\)).
- Hypothèse de récurrence : On suppose qu'il existe un \(k\) entier plus grand que \(n_0\) telque la propriété est vraie au rang \(k\).
- Hérédité : On montre que la propriété est vraie au rang \(k+1\).
- Conclusion : pour tout n, la propriété est vraie.
Cours#
Rappels principaux#
Sens de variations d'une suite
Calculer \(u_{n+1}-u_n\) et étudier son signe.
- Si \(u_{n+1}-u_n<0\) alors la suite est décroissante
- Si \(u_{n+1}-u_n>0\) alors la suite est croissante
Calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et étudier son signe.
- Si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\) alors la suite est décroissante
- Si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1\) alors la suite est croissante
Etudier la fonction \(f\) telle que \(f(x)=u_n\).
- Si \(f\) est décroissante alors la suite \(u_n\) est décroissante
- Si \(f\) est croissante alors la suite \(u_n\) est croissante
ATTENTION : ne pas confondre \(u_n = f(n)\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\). Cette méthode ne s'appliquerait pas dans ce cas.
Nature d'une suite
- Définition :\(u_n\) est une suite arithmétique de raison \(r\) si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_n+r\)
- Propriété : Si \(u_n\) est une suite arithmétique de raison \(r\) et premier terme \(u_0\) alors \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0+nr\)
- Remarque : si \(u_n\) a pour premier terme \(u_1\) alors \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_1+(n-1)r\)
- Définition :\(u_n\) est une suite géométrique de raison \(q\) si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_n\times q\)
- Propriété : Si \(u_n\) est une suite géométrique de raison \(q\) et premier terme \(u_0\) alors \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n\)
- Remarque : si \(u_n\) a pour premier terme \(u_1\) alors \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_1\times q^{n-1}\)
Démonstrations Chapitre 2#
Démonstration
Toute suite croissante non majorée diverge
Soit une suite \(u_n\), une suite croissante et un réel \(A>0\).
\(u_n\) est non majorée donc, il existe un rang \(n_0\) tel que \(u_{n_0}>A\)
\(u_n\) est croissante donc pour tout \(n>n_0\) on a \(u_n>u_{n_0}\)
On a donc montré que pour A>0 donné, il existe \(n_0\) tel que pour tout \(n>n_0\) on a \(u_n>A\)
ce qui est la définition de
\(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{u_n}=+\infty\)
CQFD
Démonstration
Toute suite majorée par une suite divergente, diverge
Soit deux suites \(u_n\) et \(v_n\) telles que à partir d'un rang \(n_0\) on a \(u_n\leq v_n\)
On a \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{u_n}=+\infty\) donc pour \(A>0\) réel donné, il existe \(n_1>0\) tel que \(\forall n>n_1\) on a \(u_n>A\)
Donc pour tout \(n>max(n_0,n_1)\) on a \(v_n>u_n>A\) donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{v_n}=+\infty\)
CQFD
Démonstration
Si \(q>1\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{q^n}=+\infty\)
- Inégalité de Bernouilli : \(\forall a>0, \forall n\geq 0, (1+a)^n>1+na\)
- Propriétés de comparaison
\(q>1\) donc il existe un réel \(a>0\) tel que \(q=1+a\)
\(q^n=(1+a)^n>1+na\)
Or \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}{1+na}=+\infty\) donc par comparaison
\(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}{q^n}=+\infty\)
CQFD
Exercices#
Pré-requis :
N°1 page 126
N°2 page 126
N°3 page 126
N°6 page 126
Démonstration par récurrence :
N°48 p27 (10 minutes)
N°49 p27 (15 minutes)
N°54 p27 (15 minutes)
l'exercice 54 est la démonstration de l'inégalité de Bernoulli faite dans le cours
49p27
Opérations sur les limites :
N°25 page 145 (15 minutes)
N°27 page 145 (15 minutes)
N°31 page 145 (15 minutes)
Limites finies :
N°51p148 (20 minutes)
N°49p147 (20 minutes)
Travail de groupe :
Algorithme
TP Python seuil- suite